Simulación de procesos geológicos mediante modelos numéricos en Python

• Jonathan Adolfo Turpo Condori
• Ago. 14, 2023

PROCESOS GEOLÓGICOS

Son acciones o eventos dinámicos que ocurren en la superficie de la Tierra debido a la aplicación de fuerzas naturales resultantes de la gravedad, cambios de temperatura, congelación y descongelación, reacciones químicas, sacudidas sísmicas y la acción del viento y el agua, el hielo y la nieve en movimiento. Donde y cuando una fuerza excede la resistencia del material terrestre, el material cambia por deformación, translocación o reacciones químicas.

 

El deslizamiento de un talud es un proceso geológico que ocurre cuando una masa de tierra o roca se mueve hacia abajo a lo largo de una pendiente, generalmente debido a la influencia de la gravedad. Este proceso puede ser impulsado por una combinación de factores, incluyendo la inclinación del terreno, la naturaleza de los materiales involucrados, la presencia de agua y otros factores geológicos y ambientales.

 

Existes métodos numéricos para poder analizar y predecir el comportamiento del suelo y las estructuras en interacción con él. Algunos de los métodos numéricos más comunes aplicados en geotecnia son:

 

• Método de Elementos Finitos (MEF)
• Método de Diferencias Finitas
• Método de Diferencias en Lattice (LBM)
• Método de Elementos de Contorno
• Método de Rankine o Coulomb
• Métodos de Análisis de Estabilidad
• Métodos de Simulación Monte Carl

 

Algunos de estos métodos numéricos como el MEF , son herramientas muy eficaces pero requieren un conocimiento solido en geología y mecánica de suelos , así como el manejo del software , por lo que suelen ser muy complejos para aplicarlos.

 

El método de Monte Carlo también se utilizan para abordar problemas geotécnicos relacionados con la variabilidad y la incertidumbre. Pueden ser aplicados para evaluar el riesgo de deslizamientos de taludes.

 

Algunos parámetros como la cohesión y el Angulo de fricción que tiene un suelo pueden variar según la ubicación y respecto al tiempo, además que su cuantificación se basa en resultados de ensayos de laboratorio , lo cuales difícilmente pueden desarrollarse con las mismas condiciones reales del terreno. Por ende hay una gran incertidumbre asociada a estas propiedades mecánicas los suelos.

 

En el Método de Monte Carlo, se utilizan técnicas estadísticas para abordar problemas en los que hay incertidumbre en los datos o en los parámetros del modelo. Este método se basa en la generación aleatoria de valores dentro de rangos de incertidumbre conocidos para realizar múltiples simulaciones y obtener estimaciones probabilísticas de los resultados.

 

En la aplicación de este método al momento de hallar un factor de seguridad de un talud , se varia los valores de los parámetros con incertidumbre , para poder iterar diferentes valores del factor de seguridad y así poder obtener el porcentaje de probabilidad de que un talud falle.

 

Para desarrollar este método nos podemos apoyar del siguiente procedimiento

 

 

Para aplicar el método de Monte Carlo , se debe conocer las variables o parámetros los cuales se tiene incertidumbre . Mediante una variación de los valores de estas variables se obtendrá diferentes resultados finales , la variación de estos valores se le conoce como el rangos de incertidumbre y se ve representado como la desviación estándar en función de la media de la variable(valores por defecto).

 

El método monte carlo requiere hacer el calculo de muchas iteraciones , por lo que es necesario hacer uso de un computadora para realizar estos cálculos de manera mas rápida , para esto podemos usar Python mediante el uso de librerías como Numpy y Scipy, donde numpy nos ayudara con el calculo de operaciones matemáticas como funciones trigonométricas , crear arreglos para almacenar y manipular datos numéricos y operarlos mediante bucles. En cuanto Scipy nos ayudara en la estadística , que en este caso nos ayudara a realizar una distribución normal .

 

En la siguiente parte de este articulo aplicaremos el método de monte carlo sobre el calculo del Factor de Seguridad de un talud ante una falla circular , mediante el método de dovelas , para poder hallar la probabilidad de fallos ante la incertidumbre de las variables como la cohesión y el angulo de fricción.

 

MODELO MATEMÁTICO

Método de las dovelas para hallar el Factor de seguridad

 

Fuente: Braja M. Das, Fundamentos de ingenieria geotecnica

Formula 1 de Factor de seguridad en suelos sin filtración estacionaria

 

Donde:

L: Longitud de la base de la dovela

C: cohesión

Φ: Angulo de Fricción

W: peso unitario de la dovela

 

Calculo del Factor de Seguridad

Del siguiente ejemplo

 

Figura 2

 

Teniendo los siguientes valores por defecto

 

 

Si aplicamos la formula 1 obtendremos que el FS = 1.55

 

Según el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos menciona sobre el FS de seguridad en taludes varia con respecto a sus características entre 1.3 a 1.5 . En este caso usaremos un promedio FS=1.4 el cual se considerara estable

 

Para hallar el factor de seguridad mediante Python realizamos el siguiente código

 

 

Esto seria nuestro modelo (método de las dovelas). Ahora veremos como varia el FS con respecto al Angulo de fricción

 

 

Podemos ver que mientras mas alto sea el valor del angulo de fricción , mayor sera el factor de seguridad.

 

ANALISIS DE LA INCERTIDUMBRE

Estimación de parámetros

 

Ahora caracterizaremos cada una de las variables aleatorias (cohesión y angulo de fricción) por una distribución probabilística (o función de densidad de probabilidad), en base a los datos obtenidos a partir de las pruebas como puede ser de corte directo efectuadas en laboratorio.

 

Para esto usamos la librería de scipy , para definir una media y la desviación estándar , mediante esto podremos definir rangos de valores los cuales se tiene incertidumbre . Ya que la obtencion de valores como el angulo de fricción y cohesión suele presentar algún error en el laboratorio , es que es necesario tener en cuenta que hubiera sucedido si el valor fuera diferente al hallado y como esto repercute en el calculo del Factor de seguridad.

 

En este ejemplo estas definiendo un rango de ±10% . el cual será la desviación estándar , y el los valores de la figura2 representaran la media.

 

 

El método de Monte Carlo se basa en iterar varias veces este código y así obtener varios valores de FS que esta en función de la generación de valores aleatorios de “c” y “φ” dentro del rango de incertidumbre

 

METODO DE MONTE CARLO

En el siguiente código iteraremos 10000 veces , para asi obtener la distribución del factor de seguridad 

 

Podemos concluir que con una varianza del 0.1 para los valores de por defecto de “c” y “Φ” se obtiene una probabilidad de un 8.8% de que el talud falle , es decir teniendo en cuenta el criterio de FS = 1.4 de 10000 casos solo 880 el valor de FS fue menor a 1.4

 

 

De la misma manera también podemos estimar la probabilidad de falla en función del Angulo de fricción.

 

 

Aquí support almacena los valores de Φ los cuales estarán en un rango de 1 a 25 , outpust almacenara los valores de FS obtenidos con los valores almacenados en support.

 

 

De igual manera vemos que la Probabilidad de falla se reduce mientras mas alto sea el valor de Φ. Veremos que sucede lo mismo con la cohesión

 

 

El método Monte Carlo es una herramienta sencilla de usar , la cual su funcionamiento depende de dar valores aleatorios dentro de un rango de incertidumbre para así poder simular diferentes escenarios. Este método requiere iterar muchas veces para así obtener una mejor aproximación.

 

Python ayuda a facilitar la incorporación de este método numérico , mediante las librerías como Numpy que ayudan a generar arrays como support y outputs, ademas de ofrecer funciones para el calculo trigonométrico . Otra librería es la de Scipy la cual nos ayudara a incorporar la parte estadística como viene siendo la media y desviación estándar para así poder definir el rango de incertidumbre en función de la media la cual es el valor por defecto en este caso .

 

Para aplicar el método de Monte Carlo es necesario determinar las variables involucradas dentro del modelo matemático los cuales generen incertidumbre.

 

Para este ejemplo practico el método de Monte Carlo , nos ayuda a tener en cuenta los posibles errores de laboratorio que se pudo haber obtenido en el valor de la cohesión y el Angulo de fricción Φ, esto lo hace generando valores aleatorios (rango de incertidumbre) con el fin de incorporarlos al modelo matemático y así obtener un posible valor para el Factor de Seguridad del Talud, mediante esto se puede tener en cuenta todos los valores posibles del FS y así obtener una probabilidad de Fallo del Talud.

 

REFERENCIAS

Rubén Medinaceli Tórrez, Rubén Medinaceli Ortiz (2021); Aplicación de la simulación de Montecarlo a la evaluación probabilística de la estabilidad de taludes en roca.

http://www.scielo.org.bo/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2519-53522021000100004#f3

Eric Marsden(sin fecha); Monte Carlo simulation for estimating slope failure risk. 

https://risk-engineering.org/notebook/monte-carlo-slope-stability.html

Braja M. Das(2015); Fundamentos de Ingeniería Geotecnica; Estabilidad de Taludes.